La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es presentada por Leonardo de Pisa en su obra Liber Abaci como una solución al problema del crecimiento de una población de conejos: supongamos que una pareja de conejos, tras haber alcanzado su madurez, produce otra pareja de conejos al mes. Si los conejos alcanzan su madurez al cabo de dos meses. Empezando con una pareja de conejos recién nacidos, describir cuántos conejos se reproducen en meses sucesivos.

** Escribe los números que forman una sucesión de Fibonacci.

** Comprueba que la suma de los n términos de la sucesión:

f ₁ + f ₂ + f ₃ + f ₄ + ... + f _n = f _{n + 2} – 1

** ¿Cuál es la suma de los términos pares de una sucesión de Fibonacci? ¿Y la de los términos impares?

** Comprueba qué cualquier número entero positivo puede expresarse como suma de números de la sucesión de Fibonacci

Otro ejemplo que da lugar a la serie de Fibonacci  tiene que ver con las abejas. Según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de otro enjambre), aquella se queda en su colmena y ya no sale más, dedicándose a la puesta de huevos que ella misma va fecundando o no, dando origen así a abejas obreras o reinas, en el primer caso, y machos o zánganos en el segundo caso. Si observamos el árbol genealógico de un zángano, podemos ver cómo el número de abejas en cada generación es uno de los términos de la sucesión de Fibonacci. En efecto, los machos no tienen padre, por lo que él sólo tendrá dos abuelos —los padres de la reina—, tres bisabuelos —porque el padre de la reina no tuvo padre—, cinco tatarabuelos, etc.

¿Cuál es la suma?

Elijamos dos números al azar, por ejemplo 4 y 9. Construyamos a partir de estos dos números los diez primeros términos de una sucesión tipo Fibonacci: 4, 9, 13, 22. 35, 57, 92, 149, 241, 390. El resultado de la suma de estos términos, que yo puedo averiguar con cierta rapidez es: 1012.

Para averiguar dicha suma he tomado el séptimo término 92 y lo he multiplicado por 11.

** Comprobar qué esto ocurre en otras series tipo Fibonacci.

** Demostrar que la suma de los 10 primeros números de una sucesión tipo Fibonacci es siempre 11 veces el séptimo término?

Los números de Fibonacci en la naturaleza

La naturaleza usa patrones vinculados con los números de la serie de Fibonacci: La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números para recibir una captación uniforme de la luz y aire, siguiendo, normalmente, una trayectoria ascendente y en forma de hélice.

Si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas consecutivas hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es, por regla general, un término de la sucesión de Fibonacci. Además, si mientras contamos dichas hojas vamos girando el tallo (en el sentido contrario a las agujas del reloj, por ejemplo) el número de vueltas  que debemos dar a dicho tallo para llegar a la siguiente hoja con la misma orientación resulta ser también un término de la sucesión.

El número de espirales en numerosas flores y frutos también se
ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los
girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y  44. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales. Contando las escamas de una piña aparecen en espiral alrededor del vértice números de Fibonacci.

Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los términos de la sucesión..