Cuadrados latinos

Cuadrados latinos

En los últimos años de su vida, Leonhard Euler escribió una memoria: “Recherches sur une nouvelle espèce de carrés magiques”, que trata sobre unos cuadrados mágicos hoy llamados cuadrados latinos, debido a que Euler tenía la costumbre de escribir en sus casillas letras latinas minúsculas. Así, un cuadrado latino de orden 4 podría responder a esta estructura:

Cada letra figura solamente una vez en cada una de sus filas y columnas.

 Una variante de los cuadrados latinos es el sudoku, que se popularizó en Japón en 1986, dándose a conocer en el ámbito internacional cuando numerosos periódicos empezaron a publicarlo en su sección de pasatiempos. Este puzzle no se inventó en Japón, como mucha gente cree, pero sí el nombre por el que lo conocemos: sudoku (Su = número, dígito; Doku = único, soltero).

  La solución de este rompecabezas siempre es un cuadrado latino, aunque el recíproco en general no es cierto ya que el puzzle establece la restricción añadida de que no se puede repetir un mismo número en una región. Un sudoku bien construido tiene solución única.

Cuadrados Greco-latinos

En tiempos de Euler se conocían cuadrados greco-latinos de orden 3, 4 y 5. No existen cuadrados greco-latinos de orden 2 y existía la duda de poder encontrar cuadrados greco-latinos de orden 6 o superior. Euler formula la búsqueda de cuadrados de orden 6 con este famoso problema: Un ejercito está formado por seis regimientos, cada uno de estos regimientos tiene seis oficiales de distinta graduación, ¿podríamos situar a los 36 oficiales en un cuadrado de forma que cada fila y cada columna contengan un oficial de distinto regimiento y graduación? Existía la duda de poder encontrar cuadrados greco-latinos de orden 6 o superior, ello le llevó a hacer la conjetura de que no existe un cuadrado greco-latino de orden n = 4k + 2, siendo k un número entero mayor o igual que 1. En 1901, el matemático francés Gaston Tary demostró la validez de esta suposición para un cuadrado greco-latino de orden 6, lo cual hizo aún más verosímil la hipótesis de Euler.

A finales de la década de los 50, y ayudados por los avances de las máquinas calculadoras, se descubren cuadrados greco-latinos de órdenes 10, 14, 18 y 22, invalidando de esta forma la conjetura de Euler.

Fisher fue el primero en poner de manifiesto la utilidad de los cuadrados greco-latinos en el diseño de experimentos en campos muy variados: agricultura, medicina, biología, sociología, etc. El cuadrado greco-latino no es más que un diagrama del experimento, donde sus filas, columnas y letras o números representan las variables del mismo.