Arquímedes

El Arenario

Hay algunos, rey Gelón, que creen que la cantidad de arena es infinita en número, y por arena no me refiero sólo a la que existe en Siracusa y el resto de Sicilia, sino también a la que se halla en cualquier región, habitada o deshabitada. Y además, hay algunos que sin considerarla infinita creen no obstante, que no se ha designado ningún número lo suficientemente grande para rebasar su cantidad

  

El Arenario es una obra en forma epistolar que contiene importantes trabajos de Arquímedes en Aritmética. El “contador de arena” era un sistema numérico que permitiría contar los granos de arena que harían falta para llenar el Universo. Después de demostrar que en el interior de una semilla de amapola podían caber 10.000 granos de arena, se propuso determinar el orden de magnitud de los granos que llenarían el Universo que, tal y como se concebía entonces, consistía en una esfera con origen en el centro de la Tierra y cuyo radio debía ser la distancia de la Tierra al Sol. Estimó que el diámetro del Universo es menor que diez millones de estadios, es decir en medidas métricas, 180.000 miriámetros.

Los sistemas de numeración de la época no le permitían utilizar números más grandes que la miríada (diez mil). Para realizar dicho cálculo, como es lógico, debió de trabajar con números muy grandes, para ello, tuvo que idear una notación que le permitiera manejar dichos números.  Inventó la miríada de miríadas. Progresivamente fue introduciendo órdenes de magnitud cada vez mayores, hasta que se dio cuenta de que era posible continuar indefinidamente la serie de números, lo que constituyó uno de los descubrimientos más trascendentales de su época. 

**Arquímedes, en su obra el Arenario, calculó el número de granos de arena que serían necesarios para llenar todo el Universo. ¿Qué cantidad obtuvo?

El problema del ganado

El dios del Sol poseía una manada de ganado que estaba compuesta por cierto número de toros y vacas de colores blancos, negros, moteados y amarillos. Entre los toros, el número de blancos era un medio más  un tercio del número de negros más los marrones; el número de negros, era un cuarto más un quinto de los moteados más los  marrones; el número de moteados, un sexto más un séptimo del conjunto de blancos más  los marrones. Entre las vacas, el número de blancas era la tercera parte más un cuarto del ganado negro total; el número de negras, un cuarto más un quinto de la totalidad del ganado moteado; la cantidad de vacas moteadas era un quinto más  un sexto del ganado marrón al completo; las marrones, un sexto más un séptimo del conjunto de ganado blanco. ¿Cómo estaba compuesta la manada?

Este problema fue descubierto en un manuscrito griego consistente en un poema de 44 líneas. Está dirigido a Eratóstenes y a los matemáticos de Alejandría. Arquímedes los reta a contar el número de reses en la Manada del Sol, para ello, deberán resolver de forma simultanea un número de ecuaciones diofánticas.

También se puede plantear una versión más complicada del problema que consiste en añadir dos restricciones: 1) el número de toros blancos y negros sea un número cuadrado. 2) el número de toros moteados y marrones sea un número triangular

** ¿Cómo plantearías este problema?

Los matemáticos no llegaron a dar una respuesta aproximada a este problema hasta 1880. En 1965 con la ayuda de un ordenador los matemáticos canadienses Hugh C. Williams, R. A, German y C. R. Zarnke fueron los primeros en hacer un cálculo más preciso.