Geometrías

El quinto postulado

Euclides en su obra, Los Elementos, presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados la base de la geometría euclidea. El quinto postulado de Euclides conocido con el nombre de axioma de las paralelas: “Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.” Ha sido una de las cuestiones matemáticas mas controvertidas a lo largo de la historia de las matemáticas. A primera vista esto es evidente, pero durante siglos se cuestiono si era un axioma o podía ser deducido del resto de postulados ¿Cómo podemos demostrar que las rectas nunca se cortarán en su prolongación infinita? Una cosa es la intuición que podamos tener y otra el problema de la demostración matemática formal.

Gauss pensó que podrían existir geometrías donde el quinto postulado no fuera cierto. Gauss pensaba en la esfera y en la posibilidad de una geometría esférica que cumplía todos los axiomas euclideos menos el quinto postulado.

Fue en el siglo XIX cuando se desarrollaron las geometrías no-euclideas que negaban el quinto postulado. Nacio la geometría elíptica desarrollada por Riemann, y la geometría hiperbólica desarrollada por Lobachevsky (entre otros).

La Geometría del Universo

Si en el universo en que vivimos solo una de las geometrías puede ser la correcta, lo cual haría a las demás geometrías falsas, entonces ¿cuál de todas es la geometría verdadera? ¿O será posible que todas sean igualmente ciertas en el universo en el que vivimos? La pregunta es: ¿qué geometría es más útil para entender el mundo físico y en qué casos conviene utilizar una u otra?

Evidentemente la geometría euclidea es muy útil. La mayoría de las mediciones locales, análisis de longitudes, áreas y volúmenes las podemos realizar con geometría euclídea. Sin embargo, si tuviéramos que hacer operaciones geométricas sobre grandes distancias en la Tierra sería conveniente utilizar la geometría esférica, ya que la Tierra se parece más a una esfera que un plano.

Si lanzamos dos rayos de luz perfectamente paralelos ¿se mantendrán paralelos (espacio plano), se cortarán (espacio de curvatura positiva) o se alejarán (espacio de curvatura negativa)? Einstein se apoyó en la geometría no-euclidea para desarrollar la Teoría de la Relatividad General. Los rayos de luz siguen trayectorias en función de la curvatura del espacio, y la curvatura depende de la masa y la energía. Según Einstein, si conocemos la distribución de la masa y la energía en el Universo conoceremos su geometría en cada punto del mismo y por lo tanto la forma en la que se mueven y aceleran los objetos. El desarrollo de la Teoría General de la Relatividad nos hace llegar a una interesante conclusión: las tres geometrías, tanto la euclideana como la elíptica como la hiperbólica, pueden ser igualmente válidas. La Relatividad no descarta ninguna de estas posibilidades.

La cosmología intenta resolver cual es el valor global de la curvatura del Universo, si es plano, cerrado (curvatura positiva) o abierto (curvatura negativa) y de momento todos los indicadores apuntan a un universo prácticamente plano cuya expansión se está acelerando.

La trayectoria de dos moscas