Paradojas del infinito

Paradojas del infinito

El hotel infinito posee infinitas habitaciones numeradas. 1,2,3,4,5… El gerente del hotel está sumamente contento porque todas las habitaciones están ocupadas. Un buen día todos los habitantes de Asia deciden irse de vacaciones a dicho hotel. ¿Podrá el gerente alojarlos? Él piensa que no, pero el recepcionista, que durante el invierno hizo algún curso de matemáticas, tiene la solución. Propone que cada huésped del hotel se mude a la habitación  cuyo número sea el doble de la que tenía asignada. De esta forma quedan libres todas las habitaciones impares. Así, los antiguos huéspedes quedan todos alojados, y hay sitio suficiente  para alojar no solo a todos los millones de asiáticos, sino a todos los habitantes del universo.

Zenón de Elea formuló algunas paradojas concernientes al tiempo y al espacio jugando con el significado de conceptos como el infinito: supongamos que un atleta inicia una carrera, antes de llegar a la meta habrá de pasar por unos puntos intermedios que no acaban jamás. El corredor debe recorrer una distancia sometida a un número infinito de subdivisiones, en un tiempo finito; ésta es, evidentemente, una suposición absurda: ¡no es posible recorrer un espacio compuesto de elementos infinitos en un lapso de tiempo finito! Por consiguiente, el movimiento es imposible. 

Si estas paradojas desafían nuestro sentido común. La siguiente paradoja presenta una situación difícil de aceptar para nuestra mente. Imaginad que cogemos una bola maciza, por ejemplo una canica. El teorema de Banach-Tarski nos demuestra que esta esfera podemos dividirla en un cierto número finito de partes y después de aplicarle movimientos rígidos a las mismas formar una esfera maciza del tamaño del Sol. Por supuesto, hemos cogido una canica matemática que podemos trocear y con esos trozos formar de nuevos dos bolas del mismo radio. Alguien podría decir que esto es imposible, porque cada trozo tendría un volumen que sumados darían el volumen de la bola inicial y no podrían sumar nunca el doble. Aunque vaya en contra de todas las leyes de la física, hay que tener en cuenta que estamos hablando de esferas "matemáticas", que no tienen volumen  y, por tanto, no se les pueden aplicar leyes como que el principio de conservación de la materia.

Conjuntos infinitos

         El matemático Georg Cantor definió un conjunto infinito como aquel donde es posible establecer una correspondencia biunívoca entre el y una de sus partes. Este principio rompe con uno de los más famosos enunciados de Euclides: “El todo es mayor que cada una de las partes”. Pero es fácil demostrar que en el conjunto de los números naturales, una de las partes es tan grande como el todo.

Cantor demostró que los números pares, los números impares, los naturales y los racionales eran todos ellos conjuntos numerables y, por tanto, podemos decir que tienen el mismo número de elementos. Cantor denominó À0 (aleph-cero) a este tipo de conjuntos infinitos. También demostró que no se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los conjuntos anteriores y el conjunto de los números reales, así pues, este tipo de conjuntos infinitos sería otro número que llamaremos À1. Esto plantea un problema matemático aún no resuelto: ¿son todos los infinitos iguales, o bien hay unos más grandes y otros más pequeños? Habían nacido las matemáticas del transfinito.

Las matemáticas del transfinito encontraron, en su momento, fuertes resistencias para ser aceptadas. Hoy en día existe aún cierta separación entre estas matemáticas y las “convencionales”. En cualquier caso, con las teorías de Cantor el infinito ha dejado de ser “algo irracional” para convertirse en un objeto de la lógica con el que podemos trabajar.

La Biblioteca de Babel

La Biblioteca de Babel no es sólo un depósito de libros. Allí están todos los libros posibles, escritos o no escritos. Evidentemente, esta biblioteca tendría infinitos libros, Ya que a partir de cualquier libro podríamos obtener otro más largo, simplemente añadiéndole alguna palabra.

Todo el pensamiento humano está allí. Jorge Luis Borges concibe un universo de salas hexagonales, figuras geométricas que se proyectan en el infinito. Si la biblioteca es infinita, evidentemente toda reducción de origen humano es infinitesimal. De la misma forma que se puede hablar de lo infinitamente grande, se puede hablar de lo infinitamente pequeño. Entre los números 0 y 1, está ½, que es más grande que 0 y más pequeño que 1. También tenemos 1/3 más grande que 0 y más pequeño que ½. Podemos continuar indefinidamente con: ¼, 1/5, 1/6...¿Cuántos números cono estos hay entre 0 y 1? Hemos establecido un espacio, el intervalo (0, 1), para ubicar el infinito.

En la biblioteca de Babel, el narrador busca el catálogo de catálogos, pero ¿puede existir dicho libro? Si el catálogo de todos los catálogos es A y contiene los catálogos A₁, A₂,...,A_n, nos encontramos con un catálogo que no está catalogado, el A. Debemos elaborar un catálogo B que lo incluya, pero en dicho catálogo no estaría el catálogo B, así pues, debemos elaborar otro catálogo C que lo incluya, y así indefinidamente. Estamos ante una versión de la famosa paradoja de Russell, que la  podemos expresar mediante la paradoja del barbero: en un pueblo había un barbero que afeitaba a todos aquellos que nunca se afeitaban a sí mismos, y solo a ellos. ¿Se afeitaba el barbero a sí mismo?

El relato finaliza con la siguiente afirmación:”La biblioteca es ilimitada y periódica.” Hay infinitos números que pueden ser expresados como decimales periódicos; pero también hay infinitos números que no poseen esta característica, son los llamados números irracionales.